Парадоксы Зенона

Бесконечность интересная и таинственная вещь. Но совершенно не понятно может ли наш мозг понять и принять ее? Я уже рассказывал вам о бесконечном отеле Гильберта и мне все это кажется чем-то ненатуральным, чьей то безумной фантазией. Но бесконечность может быть гораздо ближе к реальности, чем закрома нашего разума. Предлагаю вашему внимаю два парадокса о движении, которые сформулировал Зенон Элейский где то в 5 веке до нашей эры.

Чтобы по-настоящему насладится этими парадоксами, надо знать, что рациональные числа обладают свойством плотности. Оно говорит нам следующее: между двумя неравными рациональными числами всегда можно найти рациональное число которое меньше большего числа и больше меньшего. То есть: ∀(a,b ∈ Q)∃(m ∈ Q): a<b ⇒ a<m<b. Это свойство позволяет нам говорить о том, что между вещественными числами 0 и 1 существует бесконечное число рациональных чисел (½, ⅓, ¼, ⅕, ..., ∞). Доказательство.

Гонка Ахиллеса и черепахи

Устроим небольшое воображаемое соревнование. На стартовой линии стоит греческий герой Ахиллес, воин и атлет, символ скорости и силы своего времени. И черепаха. Что? Черепаха? Бред, как черепаха может соревноваться с Ахиллесом? Я думаю, вы бы не стали возражать, если бы мы дали черепахе фору в 100 метров для того, чтобы Ахиллесу пришлось хотя бы немного размять свои мышцы перед триумфальной победой. Предположим, что в целом нашим спортсменам надо преодолеть дистанцию в 1000 метров.

Кстати, на кого вы бы поставили ¤ в этой математической гонке?

Судья взводит стартовый пистолет. На старт, внимание, бдыщь!

Для того, чтобы Ахиллесу обогнать черепаху, ему необходимо сначала ее догнать. Пока Ахиллес бежит 100 метров форы черепаха пробегает еще 10. Черепаха вновь впереди Ахиллеса, он вновь бросается ее догонять и пробегает еще 10 метров. В это время черепаха проползает еще 1 метр. Этот процесс может продолжаться до бесконечности, в которой Ахиллес так и не догонит черепаху.

Проиграли ставку? Но это ничего, ведь деньги у нас не настоящие (в отличии от банков ☺).

Википедия дает данную формулировку этого парадокса:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Представить такую гонку на компьютере нет возможности. Как думаете, почему? Потому что компьютер не может делить бесконечно, так как у нас нет бесконечной памяти, чтобы хранить числа произвольной длинны. Благодаря этим свойствам Ахиллес и черепаха в компьютерной гонке все же окажутся в одной точке. Но, несмотря на это, ее смысл мы можем представить так:

Давайте сделаем еще одну визуализацию. Для этого мне понадобятся ваши руки. Расставьте их на расстоянии одного метра. Правая рука стоит не подвижно, а левая начинает движение к ней. Но не плавное, сначала левая рука приближается к правой на половину начального расстояния, то есть на 50 сантиметров. Потом на половину полученного расстояния, то есть на 25 сантиметров, потом на половину этого и так далее. До бесконечности. Забавно, да? Вы только что завершили бесконечный процесс своим хлопком.

Еще одна хорошая визуализация, которую опять же нельзя по настоящему представить на компьютере, это построение квадрата из бесконечного числа прямоугольников. Берем квадрат, скажем, 100 на 100 единиц измерения, делим его пополам, одну половину делим еще раз на две равные части, еще одну полученную половину делим пополам. И так далее, до бесконечности. Да, наш конечный квадрат состоит из бесконечного числа меньших прямоугольников:

Так о чем это? О бесконечном процессе и его конечном завершении. Как же Ахиллесу удается настичь и обогнать черепаху в этой нелегкой гонке? Почему наши руки сходятся в хлопке, завершая процесс у которого нет финального шага? И еще: как конечный кусок материи может состоять из бесконечного числа частиц, как в случае с нашим квадратом?

Дихотомия

Дихотомия в переводе с греческого значит «Деление пополам», именно так Аристотель назвал этот парадокс Зенона.

Давайте представим что мы решили прогуляться в парк. Парк находится от нас в 100 метрах. Для того, чтобы пройти 100 метров, надо сначала пройти 50 метров. А для того, чтобы пройти 50 метров, нам надо пройти 25 метров. Вы уже поняли к чему я клоню? Да, к бесконечности процесса деления этого расстояния. Движение невозможно!

Есть забавная выдержка в которой противник Зенона, чтобы доказать обратное, начал просто ходить перед ним:

Еще как-то, защищая того же учителя, утверждавшего, что сущее неподвижно, он выдвинул пять эпихейрем в пользу того, что сущее неподвижно. Антисфен-киник, который не смог на них возразить, встал и стал ходить, полагая, что доказательство делом сильнее всякого возражения словом.

Википедия дает нам такую формулировку этого парадокса:

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности.

Представим это визуально:

Как мы видим, этот парадокс похож на парадокс Ахиллеса и черепахи, только в отличии от последнего, у него отсутствует точка старта — что и делает невозможность совершить шаг.

Заключение

Данные парадоксы обсуждаются уже более 2000 лет, и, как говорит нам Википедия, научное сообщество до сих по не пришло к общему мнению о сущности парадоксов. Мне нравятся эти парадоксы тем, что они, при достаточном погружении в их суть, задают интересные вопросы, которые, как мне кажется, уходят корнями во что-то очень базовое:

• Как бесконечное действие может завершиться?
• Есть ли конечная мера у времени и пространства, или его можно делить до бесконечности?
• Если время можно делить бесконечное число раз, тогда как быть с такими вот парадоксами?
• Если пространство бесконечно, то как конечные предметы могут состоять из бесконечного числа частиц?
• Как физический процесс за конечное время принимает бесконечное множество значений?

Я говорю с позиции профана и в этих вещах не разбираюсь, если у вас есть ответы на эти вопросы, я бы очень хотел прочитать о них в комментариях к посту. Или, возможно, у вас возник тоже какой-то интересный вопрос?

В качестве бонуса интересное видео по теме: