Гостиница Гильберта. Ответ

Эту задачу предложил немецкий математик Давид Гильберт где то в третьем десятилетии 20 века. Давид был одним из величайших умов своего времени. Среди большого числа его учеников, которые в последствии стали видными учеными, был Джон Фон Нейман. Он так же консультировал Эйнштейна при разработке тензорного анализа — фундамента теории относительности.

Один гость

Напомню вам условие задачи для одного гостя из предыдущей статьи:

Представьте себе гостиницу с бесконечным числом комнат. Комнаты пронумерованы натуральными числами, от 1 до ∞. В один прекрасный день в нашу гостиницу вошел человек и попросил снять комнату. К сожалению, для нашего гостя не нашлось комнаты, так как именно в этот день отель был полностью заполнен бесконечным числом гостей. Выгнать гостя? Или все же есть возможность предоставить ему свободную комнату не выселяя никого из постояльцев?

Несмотря на то, что задача явно говорит что все номера заняты, мы все же можем выделить сколько угодно свободных комнат. Давайте просто переселим человека из первой комнату во вторую, человека из второй комнаты в третью и так далее. То есть, каждого гостя из комнаты с номером n переселим в комнату с номером n+1, n→n+1. В результате этого у нас освобождается комната с номером один, и мы с радостью можем поселить нашего нового гостя.

Бесконечное число гостей

Напомню условие:

Если вы смогли найти комнату для одного гостя значит вы замечательный администратор. Но всегда есть простор для улучшения ваших навыков. Представьте что в полностью заполненный бесконечный отель приехало бесконечное число гостей. Как бы вы поселили бесконечное число гостей, при этом не выселяя никого из бесконечного числа постояльцев?

Задача стала интереснее. Может ли бесконечность вместить еще одну бесконечность? Для решения предыдущей задачи мы переселили каждого гостя на один номер вперед. Этот подход можно применить для любого конечного числа постояльцев. Если n номер комнаты постояльца, а m число прибывших гостей, тогда каждого постояльца надо переселить в номер n+m, чтобы освободить m номеров для m гостей. Но что если число гостей бесконечно, то есть m=∞?. Чему равно n+∞? Давайте попросим «Вольфрам Альфа» дать нам ответ: n+∞=∞. То есть, надо переселить каждого постояльца на ∞ номеров. Нет, это нам не подходит. Но задача имеет решение, давайте взглянем на определение четного числа:

Четное число — целое число, которое делится без остатка на 2.

Что если мы возьмем номер постояльца и умножим его на два? В результате мы получим четное число, так как оно будет делится на два. Следовательно если мы переселим каждого гостя из номера n в номер 2×n, n→2×n, мы получим бесконечное число нечетных свободных комнат, и мы сможем поселить бесконечное число гостей. Только не спрашивайте сколько времени займет переселения гостя из комнаты номер 8140406085191601 в комнату номер 16280812170383202.

***

Этот парадокс хорош тем, что он отлично показывает странные, но вполне логичные свойства бесконечности в простых и понятных сущностях. Посмотрите так же этот интересный ролик: